Строение изотропных редуктивных групп

Доклад посвящен изложению недавних результатов о строении группы точек $G(R)$ изотропной редуктивной группы $G$ над коммутативным кольцом $R$ как абстрактной группы. До сих пор эта группа изучалась в двух случаях:
$\bullet$ Строение редуктивных групп $G(K)$ над полем $K$. С этим связан, в частности, большой цикл работ Платонова и его учеников.
$\bullet$ Строение группы Шевалле $G(\Phi,R)$ ранга $\ge 2$ над произвольным коммутативным кольцом. В настоящее время нами поставлены последние точки в этом направлении на уровне $K_1$ (нормальное строение, стандартные коммутационные формулы, нильпотентность $K_1$ и т.д.). Кроме того, получены первые результаты на уровне $K_2$.
Прежде всего, я опишу два метода доказательства структурных результатов, индукцией по размерности кольца $R$ (локализационные методы) и индукцией по рангу $\Phi$ (геометрические методы, основанные на теории представлений). Будут сформулированы окончательные структурные результаты для групп Шевалле, полученные с помощью этих методов (это совместные работы с Плоткиным, Степановым, Петровым, Баком, Хазратом, Гавриловичем, Николенко, Лузгаревым и Чжангом, усиливающие предшествующие результаты Абе, Судзуки, Таддеи, Васерштейна, Косты, Келлера и других и упрощающие их доказательства).
В последние 2 года в работах молодых петербургских математиков, в первую очередь Петрова, Ставровой и Лузгарева, достигнут решающий прогресс в направлении переноса имеющихся результатов на все изотропные редуктивные группы относительного ранга $\ge 2$. Возникающая здесь теория является совместным обобщением теории групп Шевалле (над кольцами) и арифметической теории алгебраических групп (над полями).
А именно, на основе SGA 3 развиты основные фрагменты техники, необходимой для проведения локализационных доказательств вообще для всех групп ранга $\ge 2$: теория относительных корней, аналог коммутационной формулы Шевалле, лемма Квиллена—Суслина и т.д.
Эти результаты позволили перенести с групп Шевалле на все изотропные редуктивные группы локализационные методы. С использованием локализационных методов доказана независимость элементарной подгруппы $E(R)$ от выбора параболической подгруппы. В частности, $E(R)$ нормальна в $G(R)$. Начат перенос дальнейших результатов. Разумеется, общий случай гораздо сложнее расщепимого, так как многие вопросы (например, нильпотентность $K_1$) здесь нетривиальны уже на уровне поля (гипотеза Кнезера—Титса).
С другой стороны, методы теории представлений также переносятся на этот случай, в несколько неожиданном варианте. А именно, вместо того чтобы вводить тензоры на одном представлении (структура алгебры, кубическая форма и т.д.), гораздо выгоднее рассматривать многоосновные системы типа йордановых пар или йордановых систем. В частности, совместное использование модуля $V$ и двойственного модуля $V^*$ вместе с операциями, которые не обязательно линейны по аргументам, позволяет снять условие обратимости 2.
Роль градуировок алгебр Ли длины 3 (абелев унипотентный радикал, относительная система корней $A_1$, йордановы пары) была обнаружена Лоосом. Соответствующая теория в случае градуировок длины 5 (унипотентный радикал класса 2, относительная система корней $BC_1$, пары Йордана–Кантора) развита в диссертации Ставровой.
Попутно Петров и Ставрова доказали аналог классификации Титса для редуктивных групп над неразложимыми полулокальными кольцами, никаких новых индексов Титса при этом не возникло. Заметим, что даже в случае поля эта работа представляет собой первое полное изложение классификационного доказательства.
Эти работы послужили одной из отправных точек к недавним работам Панина и других, в которых для изотропных редуктивных групп практически полностью доказана гипотеза Гротендика–Серра о главных $G$-расслоениях.