Транзитивные алгеброиды Ли. Когомологии и характеристические классы

Транзитивные алгеброиды Ли обладают специфическими свойствами, которые позволяют смотреть на них как на элементы некоторого гомотопического функтора. Грубо говоря, каждый транзитивный алгеброид Ли можно представить как некоторое векторное расслоение над тотальным пространством касательного расслоения гладкого многообразия, оснащенное дополнительной структурой. При этом транзитивные алгеброиды Ли допускают конструкцию обратного образа, порожденного гладкими отображениями гладких многообразий.
Благодаря К.Маккензи ([Mck-2005]) эта конструкция может быть представлена как некоторый гомотопический функтор $TLA_{\mathfrak{g}}$ из категории гладких многообразий в категорию транзитивных алгеброидов Ли. Функтор $TLA_{\mathfrak{g}}$ сопоставляет с каждым гладким многообразием множество $TLA_{\mathfrak{g}}(M)$ всех транзитивных алгеброидов Ли с фиксированной структурной конечномерной алгеброй Ли $\mathfrak{g}$.
Таким образом, можно построить ([Mi-2010], [Mi-2011]) классифицирующее пространство $\mathbf{B}_{\mathfrak{g}}$ такое, что семейство всех транзитивных алгеброидов Ли с фиксированной структурной конечномерной алгеброй Ли $\mathfrak{g}$ над многообразием $M$ взаимно однозначно соответствует семейству гомотопических классов непрерывных отображений $[M,\mathbf{B}_{\mathfrak{g}}]$: $\mathbf{A}(M) \approx [M,\mathbf{B}_{\mathfrak{g}}].$
Не смотря на очевидную категорную точку зрения мы столкнулись с определенными трудностями в конструкции классифицирующего пространства, в частности, в построении коуплинга, формулы Черна-Вейля для характеристических классов и др.
[Mck-2005] Mackenzie, K.C.H., General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge University Press, (2005)
[Kub-91e] Kubarski, J., The Chern-Weil homomorphism of regular Lie algebroids, Publications du Department de Mathematiques, Universite Claude Bernard - Lyon-1, (1991) pp.4–63
[Mi-2010] Mishchenko, A.S., Transitive Lie algebroids - categorical point of view, arXiv:1006.4839v1 [math.AT], 2010
[Mi-2011] Mishchenko, A.S., Characteristic classes of transitive Lie algebroids. Categorical point of view, arXiv:1111.6823v1 [math.AT], 2011.