Топологический подход к теореме Дворецкого о выпуклых телах

Теорема Дворецкого утверждает, что у всякого выпуклого тела размерности $n(k, \epsilon)$ существует $k$-мерное выпуклое сечение, $\epsilon$-близкое к шару. Известные доказательства теоремы Дворецкого основаны на явлении концентрации на сфере (теорема Леви) и оценках интегралов от произвольной нормы по евклидовой сфере в специально выбранном базисе. М. Громов и В. Мильман предположили, что верно аналогичное утверждение для многочленов, а именно: для однородного многочлена от $n = n(k, d)$ переменных степени $d$ найдётся $k$-мерное линейное подпространство, на котором этот многочлен пропорционален $d/2$-й степени стандартной квадратичной формы от $n$ переменных. При нечётном $d$ верен более сильный факт (теорема Бёрча): на некотором $k$-мерном подпространстве многочлен просто обращается в нуль. Для начала, мы применили топологический подход к теореме Бёрча и улучшили известные оценки для $n(k, d)$ при нечётном $d$. Далее, используя менее элементарную топологию и идею В. Мильмана с усреднением, мы доказали гипотезу Громова–Мильмана, правда не получив определённой оценки на $n(k,d)$ при чётном $d$. Отметим, что вопрос о применимости топологических подходов собственно к теореме Дворецкого и близкой к ней задаче Кнастера остаётся открытым и имеющиеся результаты скорее отрицательные.
Доклад по совместным работам с В. Л. Дольниковым и Борисом Бухом.