Замощения шестиугольника ромбами и случайные ступенчатые поверхности

В докладе будет рассказано о вероятностной модели дискретных случайных ступенчатых поверхностей, которая активно изучалась в последние 10 лет. Модель может быть описана многими эквивалентными способами, приведём некоторые из них. Рассмотрим 3-мерные диаграммы Юнга в коробке размера $A\times B\times C$ (иными словами, 3-мерные тела, составленные из единичных кубиков «плотно прижатых» к углу коробки). Граница каждой такой диаграммы является некоторой ступенчатой поверхностью, если же ввести некоторое вероятностное распределение на всех трёхмерных диаграммах в данной коробке (самый простой вариант состоит в рассмотрении равномерного распределения, но будет рассказано и о других), то можно говорить о случайных ступенчатых поверхностях, которые и являются темой нашего обсуждения. Другим (эквивалентным) описанием модели является следующее: мы берём шестиугольник со сторонами A, B, С, A, B, C и углами 120 градусов и всевозможными способами замащиваем его ромбами трёх типов, по полученному замощению достаточно просто восстанавливается та же самая ступенчатая поверхность. Картинки объектов, о которых идёт речь можно увидеть на веб-сайте http://www.mccme.ru/~vadicgor/Random_tilings.html.
В 1998 году было доказано, что если рассматривать очень большие A, B и C, то случайные ступенчатые поверхности в каком-то смысле вырождаются: для них справедлив аналог закона больших чисел, и типичная случайная поверхность очень близка к некой неслучайной поверхности, называемой «предельной формой». В дальнейшем изучению предельных форм в этой и родственных моделях был посвящён цикл работ Р. Кениона и А. Окунькова. Докладчик планирует в первой части рассказа упомянуть основные результаты с 1998 года и гипотезы, оставшиеся недоказанными.
Во второй части будут представлены полученные при изучении этой модели в последние годы результаты докладчика и соавторов. Более подробно речь пойдёт о двух аспектах. Во-первых, о предельных (при A, B, C стремящихся к бесконечности) локальных вероятностных характеристиках случайных ступенчатых поверхностей. Простейшей из таких характеристик является «средний наклон случайной поверхности», но будут описаны и намного более общие. Во-вторых, будет рассказано о марковской цепи, которая связывает случайные поверхности, построенные по шестиугольникам (коробкам) разного размера, иными словами, о возможности не очень сложного построения матриц переходных вероятностей от случайных 3-мерных диаграмм в коробке $A\times B\times C$ к случайным диаграммам в коробке $A\times (B-1)\times (C+1)$. Наличие такой цепи, в частности, позволяет легко и быстро генерировать на компьютере случайные ступенчатые поверхности больших размеров.