Распространение возмущений и развитие неустойчивости в тонком слое жидкости

Рассматриваются математические модели распространения длинноволновых возмущений в пространственно-неоднородном движении жидкости. Основное внимание уделено выяснению вопроса о существовании эффекта затухания Ландау в сдвиговых потоках, а также анализу влияния вязкости и дисперсии на волновые процессы в жидкости и устойчивость течений. Уравнения вихревой мелкой воды допускают кинетическую формулировку, близкую по структуре к уравнению А. А. Власова, известному в физике плазмы. Как было показано Л. Д. Ландау, плазменные волны затухают со временем, причем это свойство непосредственно не связано с диссипацией. В этой связи возникает вопрос о существовании аналогичного эффекта для сдвиговых потоков жидкости. Выполнен анализ асимптотики при больших значениях времени для малых возмущений заданного плоскопараллельного сдвигового потока жидкости со свободной границей. Показано, что малые возмущения течения стремятся к периодическому решению при выполнении условий гиперболичности на основном решении. Указан класс течений, на котором реализуется эффект затухания Ландау (при условии, что малые возмущения из этого же класса). Выполнены численные расчеты, иллюстрирующие аналитические результаты.
Возможность нелинейного опрокидывания волн является характерной особенностью рассматриваемых длинноволновых моделей движения идеальной жидкости. Изучены слабые разрывы решений интегродифференциальных уравнений, описывающих распространение волновых возмущений в тонком слое вязкой жидкости, стекающей по наклонной плоскости. Показано, что разрывы производных решения сосредоточены на обобщенных характеристиках и в процессе эволюции решения амплитуда слабого разрыва может обращаться в бесконечность, что соответствует образованию сильного разрыва.
Условия гиперболичности интегродифференциальных уравнений теории длинных волн находятся в хорошем соответствии с классическими критериями устойчивости сдвиговых потоков идеальной жидкости. Установлено, что учет дисперсии волн при моделировании сдвигового движения тонкого слоя жидкости оказывает стабилизирующий эффект и препятствует развитию неустойчивости Кельвина–Гельмгольца в области резкого изменения скорости потока.