|
|
Семинар по комплексному анализу (Семинар Гончара)
21 января 2013 г. 18:00, г. Москва, МИАН, комн. 411 (ул. Губкина, 8)
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение 3-го порядка для полиномов Эрмита–Паде
С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 508 |
|
Аннотация:
Будет доказано следующее утверждение.
Теорема.
Пусть функция
$f(z)=\bigl((z-1)/(z+1)\bigr)^{\alpha}$, $z\notin[-1,1]$,
где $2\alpha\in\mathbb C\setminus\mathbb Z$ и $f(\infty)=1$, и пусть
$Q_{n,0},Q_{n,1},Q_{n,2}\not\equiv0$ – полиномы Эрмита–Паде степени $n$
для набора функций $1,f,f^2$:
$$
\bigl(Q_{n,0}+Q_{n,1}f+Q_{n,2}f^2\bigr)(z)
=O\biggl(\frac1{z^{2n+2}}\biggr),\quad z\to\infty.
$$
Тогда полином
$Q_{n,0}$ и функции $Q_{n,1}f$ и $Q_{n,2}f^2$ являются решениями следующего
дифференциального уравнения 3-го порядка:
\begin{align}
(z^2-1)^2w'''
&+6(z^2-1)(z-\alpha)w''\notag\\
&-\bigl[3(n-1)(n+2)z^2+12\alpha z-(3n(n+1)+8\alpha^2-10)\bigr]w'\notag\\
&+2\bigl[n(n^2-1)z+\alpha(3n(n+1)-8)\bigr]w=0.
\notag
\end{align}
|
|