Плоские аффинные структуры на многообразиях

Плоское аффинное многообразие есть многообразие со связностью с нулевым кручением и нулевой кривизной. Такое многообразие всегда накрывается областью в $\mathbb R^n$ и является фактором этой области по дискретной кокомпактной подгруппе аффинной группы, то есть кристаллографической группы. Восемнадцатая проблема Гильберта состояла в классификации кристаллографических групп, которые сохраняют метрику. Она была решена Бибербахом, который в 1910 году доказал, что плоское риманово многообразие является (с точностью до конечного накрытия) плоским тором. Если римановой структуры нет, классификация отсутствует, хотя примеры плоских многообразий возникают довольно часто. Я расскажу об основных нерешенных вопросах плоской аффинной геометрии и о той роли, которую плоские аффинные структуры играют в классификации Кодаиры комплексных поверхностей.