Шафл-операды и эффективная гомотопическая алгебра

Для того, чтобы изучать разные вопросы линейной/гомологической/гомотопической алгебры для ассоциативных алгебр, заданных образующими и соотношениями, существует машина под названием «базисы Грёбнера», которая основана на двух банальных наблюдениях, что были хорошо известны классикам задолго до того, как базисы Грёбнера были определены: 1) для каждой алгебры, заданной образующими и соотношениями, есть алгебра «такого же размера», в которой соотношения мономиальные, и 2) если у алгебры соотношения мономиальны, то работать с ней легко и приятно, а если нет, то решать разные вопросы про алгебру можно с помощью их первоначального решения для упомянутой «мономиальной замены». Важным часто используемым обобщением понятия ассоциативной алгебры является понятие операды; если принять, что ассоциативная алгебра описывает абстрактные свойства линейных преобразований какого-нибудь векторного пространства относительно композиции, операда описывает свойства, которым удовлетворяют мультилинейные операторы относительно композиций и перестановок аргументов. Я напомню необходимые определения, объясню, почему операд с мономиальными соотношениями слишком мало, чтобы они были для чего-то полезны, и расскажу, как с этой проблемой бороться. Ключевая идея состоит в том, что нужно расширить понятие операды до «шафл-операды», добавив изрядное количество операд, которые на первый взгляд «не имеют физического смысла». Одно из занятных приложений этих методов — решение гомологическими методами некоторых задач перечислительной комбинаторики, которые специалисты по перечислительной комбинаторике решать не умели.