Аннотация:
Рассмотрим систему $N\geq 2$ классических частиц (материальных точек)
с массами $m_1,m_2,\dots,m_N$ и радиус-векторами
$\mathbf r_1(t),\mathbf r_2(t),\dots,\mathbf r_N(t)$ в $d$-мерном евклидовом
пространстве $\mathbf R^d$ ($d\geq 1$). Будем считать, что центр масс этой
системы неподвижен и совпадает с началом координат. Несколько лет тому
назад совместно с V. Aquilanti и A. Lombardi [1–3] мы определили ряд
разбиений полной кинетической энергии $T$ такой системы
$$
T = \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^N m_{\alpha}\dot{\mathbf r}_{\alpha}^2
= \frac{M}{2}\sum_{\alpha=1}^N \dot{\mathbf q}_{\alpha}^2, \qquad
M = \sum_{\alpha=1}^N m_{\alpha}, \quad
\mathbf q_{\alpha} = (m_{\alpha}/M)^{1/2}\mathbf r_{\alpha},
$$
на слагаемые, отвечающие различным модам движения. Каждый член этих
разбиений является функцией матрицы позиций$Z$ размера $d\times N$
(столбцы которой суть $\mathbf q_1,\mathbf q_2,\dots,\mathbf q_N$), ее
производной по времени $\dot{Z}$ и суммарной массы системы $M$ и инвариантен
относительно преобразований $(Z,\dot{Z}) \mapsto (RZQ,R\dot{Z}Q)$, где
$R\in\mathrm O(d)$ и $Q\in\mathrm O(N)$ — произвольные ортогональные матрицы.
В частности, $T=(M/2)\mathrm{Trace}(\dot{Z}\dot{Z}^{\ast})$, где звездочка
означает транспонирование. Среди элементов разбиений есть, например,
слагаемые, соответствующие вращениям системы как целого, изменениям
т. н. гиперрадиуса системы $\rho=[\mathrm{Trace}(ZZ^{\ast})]^{1/2}$, изменениям
“формы” системы, перестановкам частиц и т. п. Некоторые компоненты $T$,
описывающие связь между модами, могут принимать и отрицательные значения.
Вопрос о статистике слагаемых рассматриваемых разбиений кинетической энергии
$T$ при случайном выборе координат и скоростей частиц малоисследован. Мы
провели масштабное численное моделирование систем $3\leq N\leq 100$ частиц в
физически интересных размерностях $d=2$ и $d=3$ для двух случаев: а) массы
всех частиц равны и б) массы частиц разыгрываются случайно. В полном
соответствии с идеологией В. И. Арнольда о численных экспериментах как мощном
источнике новых математических теорем [4] наши вычисления показали, что
в ситуации равных масс средние значения $\mathsf E$ почти всех
компонент кинетической энергии $T$ (в нормировке $T=1$) выражаются через число
частиц $N$ и размерность пространства $d$ посредством очень простых
формул:
\begin{gather*}
\mathsf E\,T_{\Lambda}=1-\frac{1}{d\nu}, \quad
\mathsf E\,T_{\rho}=\frac{1}{d\nu}, \quad
\mathsf E\,T_{\Lambda}=1-\frac{1}{d\nu},
\\
\mathsf E\,T_{\rho}=\frac{1}{d\nu}, \quad
\mathsf E\,T^{\mathrm{rot}}=1-\frac{\omega}{d\nu}, \quad
\mathsf E\,T^I=\frac{\omega}{d\nu}, \quad
\mathsf E\,T_{\xi}=\frac{\omega-1}{d\nu},
\\
\mathsf E\,T^{\mathrm{ext}}=\frac{\omega(2d-\omega-1)}{2d\nu}, \quad
\mathsf E\,T^{\mathrm{int}}=\frac{\omega(2\nu-\omega-1)}{2d\nu}, \quad
\mathsf E\,T^{\mathrm{res}}=0,
\\
\mathsf E\,T_J=\frac{d-1}{d\nu}, \quad
\mathsf E\,T_K=\frac{\nu-1}{d\nu}, \quad
\mathsf E\,T_{\mathrm{ac}}=1-\frac{d+\nu+\omega-2}{d\nu},
\\
\mathsf E\,E^{\mathrm{out}}_2=1-\frac{\omega}{d}, \quad
\mathsf E\,E^{\mathrm{in}}_2=1-\frac{\omega}{\nu},
\end{gather*}
где $\nu=N-1$ и $\omega=\min(d,\nu)$. Определение величин
$T_{\Lambda},T_{\rho},\ldots,E^{\mathrm{in}}_2$ дано в статьях [1–3]. Эти
формулы доказаны “на физическом уровне строгости” (при $N=2$ они почти
очевидны). Из наших расчетов также видно, что средние значения компонент $T$,
возрастающие (убывающие) с увеличением $N$, в ситуации равных масс больше
(соответственно меньше), чем в ситуации случайных масс для того же $N$ (кроме,
может быть, малых $N$). Результаты моделирования для $d=3$ приведены в [3].
Работа частично финансируется грантом Президента Российской Федерации для
государственной поддержки ведущих научных школ РФ (номер НШ-4850.2012.1).
Aquilanti V., Lombardi A., Sevryuk M.B., “Phase-space invariants for aggregates of particles: Hyperangular momenta and partitions of the classical kinetic energy”, J. Chem. Phys., 121:12 (2004), 5579–5589
Sevryuk M.B., Lombardi A., Aquilanti V., “Hyperangular momenta and energy partitions in multidimensional many-particle classical mechanics: The invariance approach to cluster dynamics”, Phys. Rev. A., 72:3, part B. (2005), 033201, 28 pp.
Аквиланти В., Ломбарди А., Севрюк М.Б., “Статистика разбиений кинетической энергии малых нанокластеров”, Хим. физика, 27:11 (2008), 69–86
Арнольд В.И., Экспериментальное наблюдение математических фактов, 2-е изд., МЦНМО, М., 2012, 120 с.