Центральные расширения группы группоидом Пикара и законы взаимности на алгебраической поверхности

Мы стоим 2-категорию торсоров над произвольным группоидом Пикара. Полученная категория является 2-группоидом Пикара. Для произвольной группы мы определяем понятие центрального расширения этой группы при помощи группоида Пикара. После этого определяем аналог коммутатора и его свойства в этом центральном расширении для трех коммутирующих элементов группы. Примение этих конструкций для двумерных локальных полей и колец аделей на поверхности дает новое выражение для двумерного ручного символа и новое доказательство законов взаимности Паршина на алгебраической поверхности, определенной над любым совершенным полем. Существенным моментом конструкции является использование не строго коммутативного группоида Пикара «ориентированных» 1-мерных векторных пространств над полем. В случае алгебраической кривой и закона взаимности Вейля для одномерных ручных символов на этой кривой подобный метод был использован А. Бейлинсоном, С. Блохом и Е. Энно в статье arXiv: math/0111277. Данный доклад основан на совместной работе докладчика с X. Жу arXiv: 1002.4848.