Числа вращения и модули эллиптических кривых

В 1978 году В. И. Арнольд предложил следующую конструкцию.
Пусть $f$ — аналитический диффеоморфизм окружности, $F$ — его поднятие на прямую. Тогда отображение $F+a+ib$ переводит вещественную прямую в прямую $\operatorname{Im}z=b$. Склеим границы полосы $0\le\operatorname{Im}z\le b$ по отображению $x\to F(x)+a+ib$ и факторизуем полученный цилиндр по сдвигу $z\sim z+1$. Мы получили эллиптическую кривую.
Рассмотрим отображение модулей $\mu$, которое переводит комплексное число $a+ib$ в модуль построенной эллиптической кривой. Как оно ведет себя вблизи вещественной оси?
По гипотезе В. И. Арнольда, доказанной Вадимом Молдавским, предел модуля при стремлении к абсолюту по вертикали равен числу вращения отображения $f$, если эточисло вращения диофантово.
В докладе будет дан обзор результатов, связанных с поведением отображения модулей вблизи вещественной оси (В. Молдавский, Ю. С. Ильяшенко, К. Бюфф, Ж. Лакруа, Н. Гончарук).