Деформации модулярных алгебр Ли

Классификация конечномерных простых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями характеристики $p>3$ была получена сравнительно недавно, завершившись рядом работ Х. Штраде и А. Премета. Результат этих исследований таков: в характеристике $p>5$ все простые алгебры Ли являются либо классическими, либо алгебрами Ли картановского типа. При $p=5$ к вышеупомянутым алгебрам Ли добавляются «исключительные» алгебры Меликяна, аналогов которым нет над полями других характеристик и которые не являются ни классическими алгебрами, ни алгебрами Ли картановского типа. Для полей малой характеристики $p=2,3$ классификация простых алгебр Ли на данный момент не известна.
Доклад будет посвящён одному из направлений исследования модулярных алгебр Ли — описанию их деформаций, — которое имеет непосредственное отношение к проблеме классификации. Будут введены необходимые определения, начиная с понятия градуированных алгебр Ли картановского типа, и затронуты «классические» результаты об описании их деформаций. Также будет рассказано о сериях «исключительных» алгебр Ли, появляющихся в характеристике $p=3$, и подходах к исследованию фильтрованных деформаций этих алгебр.