Формула следа для группы $\mathrm{GL}(2)$ и представления кватернионной алгебры

Пусть $G=\mathrm{GL}(2)$, $F$ – числовое поле, $\mathbb{A}$ – адели поля $F$. В докладе будет рассмотрено $L^2(G,\omega)$ – автоморфное представление группы $G( \mathbb{A})$, то есть пространство функций на $G(\mathbb A)$, таких что $f(\gamma z g)=\omega(z)f(g)$, где $\gamma$ – это элемент из $G(F)$, $z$ – элемент из центра, $\omega$ – характер центра, функции суммируемы с квадратом на пространстве смежных классов $ G(F) \backslash G({\mathbb A})$, группа $G({\mathbb A})$ действует правыми сдвигами. В докладе будет рассказано о разложении этого $L^2$ в сумму каспидального подпредставления, представления с непрерывным спектром и суммы одномерных. След каспидального подпредставления – это обобщенная функция на группе. Формула следа выражает след на каспидальном подпредставлении через сумму орбитальных интегралов и еще некоторых членов. При некоторых условиях на тестовую функцию формула следа сводится к орбитальным интегралам лишь по эллиптическим элементам. Аналогичная формула следа имеет место для представлений алгебр над $F$. Значение формулы следа в том, что орбитальные интегралы являются произведениями локальных орбитальных интегралов, что позволяет многие вопросы о представлении сводить к локальному представлению группы $G(F_v)$. В частности, это позволяет построить биекцию между автоморфными представлениями группы $G( \mathbb{A})$ и представлениями кватернионной алгебры над $F$.
Доклад основан на статье Gelbart и Jacquet "Forms of $\mathrm{GL}(2)$ from the analytic point of view".