Еще раз о марковском свойстве времени пребывания марковского процесса

Как известно, условное локальное время для одномерного броуновского движения (до экспоненциального момента времени) является марковским процессом. Оказывается, подобное можно утверждать и для однородной марковской цепи $X(t)$ с непрерывным временем. Аналогом локального времени в данном случае служит время пребывания $\tau(v)$ процесса $X(t)$ в состоянии $v$ до экспоненциального момента $\theta$, а марковское свойство рассматривается относительно условных мер $P_{ab}$, фиксирующих начало и конец траектории ($X(0)=a$, $X(\theta)=b$). Если граф исходной цепи при выкидывании вершины $v$ разбивается на несколько компонент связности, которые удобно интерпретировать как «прошлое» и «будущее», то можно говорить о марковском свойстве для $\tau$. Будет приведена краткая схема доказательства марковского свойства в таком понимании, когда в качестве «настоящего» берется одна-единственная вершина.
Оказывается, однако, что попытки нетривиального обобщения марковского свойства на случай нескольких вершин терпят неудачу. Будут приведены соответствующие контрпримеры и утверждения.
Рассмотрение неоднородных сред и неэкспоненциальных моментов остановки также не позволяет расширить круг процессов, для которых поле времени пребывания марковское. Это еще раз показывает, что марковость времени пребывания является свойством интересным и достаточно нетривиальным.