Шунты для прямоугольных диаграмм узлов (по совместной работе с М. Прасоловым)

В докладе речь пойдет о ставшем последнее время популярным способе представления узлов и зацеплений с помощью так называемых прямоугольных (или решетчатых) диаграмм. Несколько лет назад я доказал, что любая такая диаграмма, представляющая тривиальный узел, может быть упрощена до простейшей диаграммы — квадрата — с помощью элементарных преобразований, не увеличивающих число вершин диаграммы. Недавно мы с Максимом Прасоловым проанализировали, при каком условии произвольная прямоугольная диаграмма допускает аналогичное упрощение хотя бы на один шаг, и обнаружили, что ответ на этот вопрос наиболее естественным образом дается в терминах лежандровых узлов с помощью введенного нами понятия шунта. Попутно оказались доказаны некоторые поставленные ранее вопросы о замкнутых косах, трансверсальных и лежандровых узлах. В часотности, мы доказали гипотезу Джонса об инвариантности алгебраического числа пересечений минимальной косы, задающей данное ориентированное зацепление.