Разрешение особенностей в семействах аналитических дифференциальных уравнений

Простейшее разрешение особенностей, так называемое элементарное раздутие (сигма-процесс, elementary blow-up) — это трансформация окрестности точки на двумерной поверхности, при котором вместо одной точки вклеивается проективная прямая. Для этого вместо координат $(x,y)$ вводятся две карты $(x, u=y/x)$ и $(y, v=x/y)$. Если в окрестности задано аналитическое векторное поле с особой точкой, оно поднимается до аналитического поля направлений с одной или несколькими особыми точками на вклеенной проективной прямой. Особые точки раздутого поля оказываются «проще» исходной особой точки — за исключением элементарных особых точек, линеаризация векторного поля в которых имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. Теорема Бендиксона–Зайденберга утверждает, что за конечное число элементарных раздутий любая особая точка аналитического векторного поля рассыпается на некоторое число элементарных особых точек.
В докладе обсуждается обобщение этой конструкции на семейства аналитических полей направлений, и доказывается аналог теремы Бендиксона–Зайденберга для семейств, удовлетворяющих естественным условиям на поведение особых точек. (В частности, теорема применима к любому семейству полиномиальных векторных полей на плоскости.) Структура особых точек в семействах полей направлений может включать в себя так называемые сингулярные возмущения. Предлагаемая конструкция разрешения особенностей порождает «новые» сингулярные возмущения. Это всерьёз осложняет анализ получающихся семейств, и мы обсудим этот феномен достаточно подробно.
Обсуждаемый результат опубликован в 1995 году.