Оценка сложности плоских полиномов Литлвуда, деформированные алгебры Гейзенберга и задача о диофантовых аппроксимациях чисел $\log n$

Исследование обобщённых тригонометрических полиномов $P(t)$, являющихся суммой конечного числа характеров на группе $F$, в случае, когда суммируемые характеры распределены в соответствии с некоторой “гладкой” функцией, приводит к следующей модели. Мы требуем, чтобы группа $F$ была наделена структурой поля, и рассматриваем квантовую динамическую систему, спектр которой $L$ обладает мультипликативной инвариантностью: $L = qL$, где $q \in F$. Данная модель приводит к конструкции $q$-деформированных алгебр Гейзенберга–Вейля. Основная цель доклада — рассказать об одном алгебраическом эффекте, приводящем к возникновению солитонных решений для ассоциированного уравнения Шрёдингера. Интересно, что условием возникновения обнаруженного эффекта является определённая задача о диофантовых приближениях, причём в случае поля $F = R$ существует ровно две квантовых модели указанного типа: первая отвечает классическому квадратичному гамильтониану и задаче об аппроксимации индивидуального вещественного параметра (суммы Гаусса и Вейля), вторая — спектру с мультипликативной симметрией и, соответственно, задаче о совместных диофантовых приближениях чисел $\log n$, наблюдаемых, в частности, в разложении в ряд Дирихле дзета-функции Римана.