Об одной функциональной модели симметрического полуограниченного оператора

В докладе описывается модель плотно заданного замкнутого симметрического полуограниченного оператора $L_0$ с ненулевыми индексами дефекта в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. Элементы модельного пространства суть функции на топологическом пространстве $\Omega_{L_0}$, определяемом оператором и принимающие значения во вспомогательном гильбертовом пространстве.
Пространство $\Omega_{L_0}$ конструируется в несколько шагов: (1) оператору $L_0$ каноническим (по М. И. Вишику) образом сопоставляется система Грина (ПГЗ); (2) с последней связывается абстрактная «динамическая система с граничным управлением», эволюция которой определяется уравнением второго порядка по времени; (3) достижимые множества системы определяют некоторую (под)решетку решетки подпространств пространства $H$. Ее атомы и составляют множество $\Omega_{L_0}$, называемое «волновым спектром» оператора $L_0$; (4) на $\Omega_{L_0}$ вводится естественная топология (их несколько).
С каждым атомом $a \in \Omega_{L_0}$ связывается класс эквивалентности $[h]_a$ данного элемента $h \in H$ («росток» элемента $h$ на атоме $a$). Тем самым, элементы исходного пространства $H$ реализуются в виде «росткозначных» функций на $\Omega_{L_0}$. Множество этих функций снабжается гильбертовой структурой и составляет модельное гильбертово пространство $\tilde H$. Построенную модель мы называем «волновой».
Если оператор $L_0$ вполне несамосопряжен, то для построения волновой модели достаточно располагать его характеристической функцией.
Данная модель обобщает большой «экспериментальный материал», накопленный при решении обратных задач мат. физики. Как пример, укажем задачу реконструкции риманова многообразия по граничным спектральным данным. Грубо говоря, реконструкция фактически и состоит в построении волновой модели минимального Лапласиана многообразия по данным обратной задачи.
По существу, в настоящий момент волновая модель является лишь наброском с большим количеством неясных мест и открытых вопросов (они будут упомянуты). Набросок, однако, представляется вполне перспективным для разработки и приложений. Одна из целей доклада — привлечь внимание специалистов и молодежи к этому кругу вопросов.