Комплексное число вращения (непрерывное продолжение на границу)

Доклад будет продолжением доклада 2 марта. Я напомню все необходимые понятия и конструкции.
В прошлый раз было дано определение комплексного числа вращения — голоморфного отображения верхней полуплоскости (или, что то же самое, единичного диска) в себя. На этот раз я расскажу доказательство самого свежего из результатов об этом отображении:
Комплексное число вращения продолжается по непрерывности на вещественную ось.
Результат получен совместно с Ксавье Бюффом.
Образ вещественной оси под действием комплексного числа вращения — это фрактальное множество («пузыри Федорова»). Мы обсудим, как может быть устроено это множество, и в качестве простого следствия получим, что комплексное число вращения может быть неинъективным.