О двух открытых проблемах в теории динамических систем

Доклад посвящён двум открытым проблемам теории динамических систем: гипотезе Аносова о топологии слоёв типичного полиномиального векторного поля в $\mathbb{C}^2$ и гипотезе Смейла-Шуба о классификации диффеоморфизмов Аносова.
Гипотеза Аносова утверждает, что у типичного полиномиального векторного поля в $\mathbb{C}^2$ почти все слои односвязны — или, что то же самое, нет циклов с тождественным отображением Пуанкаре. (К примеру, гамильтоновых векторные поля в этом смысле, очевидно, нетипичны.) Для слоений, задаваемых аналитическими векторными полями, аналог гипотезы Аносова был доказан Татьяной Фирсовой с помощью техники возмущений и приближений. Я расскажу, как работают её рассуждение, и попробую предложить метод, как можно было бы доказывать исходную гипотезу Аносова.
Гипотеза Смейла-Шуба — гипотеза о классификации диффеоморфизмов Аносова: она утверждает, что все они, с точностью до топологического сопряжения, получаются некоторой алгебраической конструкцией. Даже её слабая форма – утверждение о невозможности диффеоморфизма Аносова на односвязных замкнутых многообразиях – до сих пор остаётся недоказанной. Я расскажу некоторые идеи, откуда можно было бы попробовать получить хотя бы эту ослабленную гипотезу (и, в частности, один — довольно «локальный» — результат Юрия Кудряшова и мой в этом направлении).