Порядок Брюа и полная симметрическая система Тоды

Полная симметрическая система Тоды является достаточно прямолинейным обобщением обычной («трехдиагональной») цепочки Тоды. Это гамильтонова система на пространстве симметрических матриц с нулевым следом. Можно показать, что эта система интегрируема, более того можно явно выписать ее первые интегралы, которые будут в этом случае рациональными функциями от матричных элементов. С другой стороны, эту систему можно описать (после несложной заменой координат) при помощи векторного поля морсовской функции на пространстве полных флагов. Мы покажем, что эта новая (морсовская) система является, на самом деле системой Морса–Смейла, более того ее стабильные/нестабильные подмногообразия совпадают с клетками Шуберта (или двойственными к ним) в пространстве флагов. В частности, две особые точки, соответствующие некоторым перестановкам корней, можно соединить траекторией системы, если и только если эти перестановки сравнимы по Брюа.