Квановые инварианты узлов, виртуальных узлов и графов на поверхностях

Квантовый sl(3)-инвариант (скобка Куперберга) представляет собой инвариант классических узлов, который строится следующим образом: сначала диаграмма узла представляется в виде линейной комбинации графов, а затем с помощью упрощающих соотношений графы упрощаются, и на них вычисляются значения - полиномы Лорана от одной переменной.
В виртуальном (неэллиптическом случае) не всякий граф упрощается, что позволяет строить более сильные инварианты, исходя из того, что инвариантом сложного (неупрощаемого) графа является сам граф.
В итоге получается серия новых инвариантов виртуальных узлов, свободных узлов, а также гомотопических классов погружений графов валентности три в двумерные поверхности.
Отличительной чертой таких инвариантов является то, что их значениями являются графы, что позволяет сводить различные вопросы о свойствах объектов к свойствам их конкретных представителей. В частности, если диаграмма узла (погружение графа в поверхность) довольно сложна, то она «присутствует в виде образца» в любой изотопной (гомотопной) ей диаграмме.
Будет предложен ряд задач исследовательского характера.
(Частично — совместный результат с Л. Х. Кауфманом arXiv:1207.0719.)