По следам!

Рассмотрим формальное дифференциальное выражение
\begin{equation} \label{operator} l :=(-i)^n D^{n} + \sum_{k = 0}^{n-2} p_k(x) D^k, \end{equation}
действующее на функции на отрезке $[a,b]$. Пусть $P_j$ и $Q_j$, $j \in \{0,\dots,n-1\}$, — многочлены степени не более $n-1$, определяющие граничные условия:
\begin{equation} \label{bc} P_j(D)y(a) + Q_j(D)y(b) = 0,\qquad j\in\{0,\dots,n-1\}. \end{equation}
Дифференциальное выражение (1) и граничные условия (2) порождают оператор $L$, собственные числа которого мы обозначим $\lambda_l$. Пусть $\mu_l$ — собственные числа оператора $L+Q$, где $Q$ — оператор умножения на функцию $q$. В относительно общих предположениях относительно граничных условий и дифференциального выражения мы вычислим регуляризованный след
\begin{equation} \label{mainform} F(q) := \sum_{l=1}^{\infty}\Big[\mu_l-\lambda_l-\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}q(t) dt\Big]. \end{equation}
В частном случаях граничных условий с разделенными старшими членами ответ прост,
$$ F(q) = \frac{q(a)}{2m}\biggl(\sum_{j=0}^{m-1}d_j-\frac{m(2m-1)}{2}\biggr)+\frac{q(b)}{2m} \biggl(\sum_{j=m}^{2m-1}d_j-\frac{m(2m-1)}{2}\biggr), $$
где $d_j$ — степени $P_j$ при $j < m$ и $Q_j$ при $j < m$ при $j \geqslant m$. Основная аналитическая составляющая доказательства — усиление теоремы Тамаркина о равносходимости.
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Sled} Alexander I. Nazarov, Dmitriy M. Stolyarov, Pavel B. Zatitskiy, “On formula of regularized traces II”, http://arxiv.org/abs/1210.8097.
\end{thebibliography}