Об интегральных формулах объема гиперболических тетраэдров и октаэдров с симметриями

Вычисление объёма многогранника - старая и сложная задача классической геометрии. Первый серьёзный результат в данном направлении получил, по-видимому, Тарталья (1494 г.). Он выразил объём евклидова тетраэдра через квадраты длин его ребер.
Что касается неевклидовых случаев, то здесь ситуация более сложная. Формула объёма произвольного гиперболического тетраэдра долгое время не была известна. Наконец, на рубеже веков эта проблема была решена в работах Чо-Кима (1999 г.) и Мураками-Яно (2001 г.). Но формулы, предложенные вышеназванными математиками, являются довольно громоздкими и трудно обозримыми.
И лишь в 2004 году Д. А. Деревниным и А. Д. Медных была предложена компактная интегральная формула объёма гиперболического тетраэдра через двугранные углы. В первой части доклада будет рассказано об этой формуле и изложена схема ее доказательства на основе формулы Мураками-Яно.
Что касается второй части доклада, то в ней будет рассказано о некоторых применениях формулы Деревнина-Медных, а именно о возможности использования данной формулы при выводе формул объема гиперболических октаэдров, обладающих так называемыми mmm- и 2|m-симметриями.