Замкнутые геодезические на поверхности многогранника

Простые замкнутые геодезические на выпуклых поверхностях изучаются в литературе, начиная с работ Пуанкаре, Люстерника, Шнирельмана, и др. В частном случае, для поверхностей многогранников, многие задачи о геодезических допускают наглядные геометрические решения. Этому посвящены работы Поста, Гальперина, Залгаллера, Фукса и др. Известно, например, что многогранник «общего положения» не имеет ни одной простой замкнутой геодезической. В числе таких многогранников — правильная пирамида, у которой сторона основания не равна боковому ребру. С другой стороны, для многих известных многогранников, в частности, для правильных, геодезические существуют. Так, у куба есть три не изоморфные между собой простые замкнутые геодезические, у правильного октаэдра — две, у правильного симплекса — бесконечно много. Мы начнем с того, что приведем классификацию геодезических и описание их структуры на поверхности произвольного симплекса. Затем получим оценку сверху на их количество. Далее найдем все многогранники, имеющие сколь угодно длинные геодезические. Обобщение этого результата на произвольные выпуклые поверхности будет сформулировано в виде открытой проблемы.