Контрпримеры к гипотезе Борсука на сферах малого радиуса

Классическая гипотеза Борсука утверждает, что любое множество диаметра 1 в $\mathbb{R}^n$ можно разбить на $n+1$ часть меньшего диаметра. Гипотеза опровергнута, начиная с размерности 298. Мы покажем, что контрпримеры можно строить на сферах любого радиуса, большего $1/2$, и даже на сферах, радиусы которых асимптотически равны $1/2$. Это означает, что бывают графы диаметров с большим хроматическим числом и обхватом.