Склейки многоугольников, гауссовские случайные матрицы и полиномы Эрмита

Замкнутые ориентируемые поверхности можно получать из многоугольников, склеивая их стороны попарно. Например, склеивание противоположных сторон квадрата дает тор. Нас будут интересовать числа $c_{k,g}$ – количество способов склеить из $2k$-угольника поверхность рода $g$. Впервые задача нахождения $c_{k,g}$ была решена в статье “The Euler characteristic of the moduli space of curves” (J. Harer, D. Zagier). Мы докажем, что числа $c_{k,g}$ являются коэффициентами в разложении следа случайной матрицы $N\times N$ из ансамбля GUE по степеням $N$, т.е.
$$ \int_{\mathcal H(N)}Tr X^{2k}\exp(-Tr X^2) dX =\sum_{g=0}^{[k/2]} c_{k,g} N^{k+1-2g}. $$
Используя технику полиномов Эрмита, мы сосчитаем этот интеграл и получим рекуррентную формулу для чисел $c_{k,g}$.