Рандомизированные суммы в банаховых пространствах

Пусть $\{\xi_k\}_k$ — последовательность независимых случайных величин, равновероятно принимающих значения $\pm 1$, a $\{a_k\}_k \in l^2$. Классическое неравенство Хинчина утверждает что
$$ c_1\|a_k\|_{l^2} \leq \Bigl(E\Bigl|\sum \xi_k a_k\Bigr|^p\Bigr)^{\frac{1}{p}} \leq c_2\|a_k\|_{l^2} $$
для всех положительных чисел $p$. Неравенство перестает быть верным, если $a_k$ станут элементами произвольного банахова пространства. Однако, верно неравенство Кахана,
$$ c_{p,q}\Bigl(E\Bigl\|\sum \xi_k a_k\Bigr\|_X^p\Bigr)^{\frac{1}{p}} \leq \Bigl(E\Bigl\|\sum \xi_k a_k\Bigr\|_X^q\Bigr)^{\frac{1}{q}} $$
для всех пар положительных чисел $p$ и $q$ и любого банахова пространства $X$. Кроме того, если эти выражения мажорируют или мажорируются $\|a_k\|_{l^2(X)}$, про банахово пространство $X$ можно многое сказать.
Мы докажем неравенство Кахана, кроме того, поговорим о том, как неравенства такого вида, или более обще, изучение рандомизированных рядов в банаховом пространстве, помогает получать сведения о его геометрии. В частности, покажем, что пространства $L^p$ попарно неизоморфны при различных значениях $p$.