О теореме Гурье – Олкина – Зингера

Доказывается одно усиление теоремы Гурье – Олкина – Зингера о характеризации нормального распределения свойством независимости линейных статистик независимых случайных векторов.
Если $A$ квадратная матрица размера $d\times d$, условимся обозначать $\lambda_j (A)$ собственные числа положительной самосопряженной матрицы $AA^*$, упорядоченные так, что $0\leq\lambda_1 (A)\leq\lambda_2 (A)\leq\dots\leq \lambda_d (A)$. Иными словами, $\sqrt{\lambda_j (A)}$ – это сингулярные числа матрицы $A$.
Теорема. Пусть $\xi_1, \xi_2,\dots$ – последовательность независимых случайных $d$-мерных векторов. Определим линейные формы $L_1$, $L_2$ равенствами
\begin{equation} L_1 =\sum_1^{\infty} A_j\xi_j ,\quad L_2 =\sum_1^{\infty} B_j\xi_j, \end{equation}
где $A_j$, $B_j$ – вещественные не особенные квадратные матрицы, удовлетворяющие следующим двум условиям:
1. хотя бы одна из последовательностей $\{A_jB_j^{-1}\}, \{A_j^{-1}B_j\}$ ограничена;
2. если $\{C_j\}$ – это ограниченная последовательность, о которой идет речь в предыдущем условии 1, то числовая последовательность $\{\frac{\lambda_d(C_j )}{\lambda_1 (C_j)}\}$ ограничена,
$$ \sup_j\frac{\lambda_d(C_j )}{\lambda_1 (C_j)}=M<\infty . $$

Тогда если линейные формы $L_1$, $L_2$ независимы, то все случайные векторы $\xi_j$ имеют нормальное распределение.