|
|
Городской семинар по теории вероятностей и математической статистике
28 сентября 2012 г. 18:00–20:00, г. Санкт-Петербург, ПОМИ, ауд. 311 (наб. р. Фонтанки, 27)
|
|
|
|
|
|
О теореме Гурье – Олкина – Зингера
И. А. Ибрагимов |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 351 |
|
Аннотация:
Доказывается одно усиление теоремы Гурье – Олкина – Зингера о
характеризации нормального распределения свойством независимости
линейных статистик независимых случайных векторов.
Если $A$ квадратная матрица размера $d\times d$, условимся
обозначать $\lambda_j (A)$ собственные числа положительной
самосопряженной матрицы $AA^*$, упорядоченные так, что
$0\leq\lambda_1 (A)\leq\lambda_2 (A)\leq\dots\leq \lambda_d (A)$.
Иными словами, $\sqrt{\lambda_j (A)}$ – это сингулярные числа
матрицы $A$.
Теорема. Пусть $\xi_1, \xi_2,\dots$ – последовательность
независимых случайных $d$-мерных векторов. Определим линейные
формы $L_1$, $L_2$ равенствами
\begin{equation}
L_1 =\sum_1^{\infty} A_j\xi_j ,\quad L_2 =\sum_1^{\infty} B_j\xi_j,
\end{equation}
где $A_j$, $B_j$ – вещественные не особенные квадратные матрицы,
удовлетворяющие следующим двум условиям:
1. хотя бы одна из последовательностей $\{A_jB_j^{-1}\},
\{A_j^{-1}B_j\}$ ограничена;
2. если $\{C_j\}$ – это ограниченная последовательность, о
которой идет речь в предыдущем условии 1, то числовая
последовательность $\{\frac{\lambda_d(C_j )}{\lambda_1 (C_j)}\}$
ограничена,
$$
\sup_j\frac{\lambda_d(C_j )}{\lambda_1 (C_j)}=M<\infty .
$$
Тогда если линейные формы $L_1$, $L_2$ независимы, то все случайные
векторы $\xi_j$ имеют нормальное распределение.
|
|