Limit theorems for the number of parts in a random weighted integer partition

Пусть $c_{m,n}$ — число разбиений положительного числа $n$ ровно на $m$ частей с весами, $1\le m\le n$. При заданной последовательности $b_k$, $k\ge 1$, чисел элементов разбиений, равных $k$, производящая функция совокупности $c_{m,n}$ имеет вид произведения $\prod_{k=1}^\infty (1-uz^k)^{-b_k}$. Рассматриваются случайные величины $\xi_n$ с распределением
$$ P\{\xi_n=m\}=\frac{c_{m,n}}{\sum_{m=1}^n c_{m,n}}, \qquad 1\le m\le n. $$
Показано, что предельное распределение $\xi_n$ при $n\to\infty$ зависит от аналитических свойств смещенной производящей функции Дирихле $D(s,w)=\sum_{k=1}^\infty b_k(k+w)^{-s}$, $(s,w)\in\mathbb{C}^2$. Описано 5 типов предельных распределений $\xi_n$ в зависимости от области аналитичности функции $D(s,w)$.