Теорема Семереди и динамические системы. Лекция 1

Если разбить натуральный ряд на конечное число частей, то в одной из этих частей содержатся сколь угодно длинные арифметические прогрессии (теорема ван дер Вардена). Теорема Семереди усиливает теорему ван дер Вардена: если некоторые натуральные числа покрашены в зеленый цвет и при этом существуют сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых доля зеленых чисел составляет не менее одного процента (или любой другой положительной константы), то существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из зеленых чисел.
Замечательное доказательство теоремы Семереди, предложенное Фюрстенбергом, основано на эргодической теории. Эта теория изучает преобразования, сохраняющие меру, и поведение таких преобразований при итерациях.
В курсе будут изложены основные идеи доказательства Фюрстенберга. Развитие этих идей привело к доказательству теоремы о существовании сколь угодно длинных арифметических прогрессий, состоящих из простых чисел (Green–Tao). Остается открытой гипотеза Эрдеша: если $А$ — такое множество натуральных чисел, что сумма обратных величин $1/n$ бесконечна (где $n$ пробегает $А$), то $А$ содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.
От слушателей предполагается знакомство с такими понятиями, как сумма ряда и интеграл.