Кривые: вещественные, комплексные и над конечными полями. Лекция 1

Рассмотрим многочлен $f(x, y)$ с целыми коэффициентами. Если считать $x$ и $y$ вещественными числами, он задает кривую на плоскости. Если считать $x$ и $y$ комплексными, то получится комплексная кривая, с вещественной точки зрения представляющая собой поверхность. Если же в качестве $x$ и $y$ брать элементы конечного поля, то получится конечное множество. Оказывается, имеются связи между числом компонент вещественной кривой, топологией поверхности и числом решений уравнения в конечном поле. Об этих связях и пойдет речь.
Ожидается, что слушатели знакомы с понятием комплексного числа и встречались с конечными полями. Желательно знание основ матанализа (например, будут использоваться понятия производной и ряда). Также будет полезно знакомство с топологией, хотя все необходимые понятия и будут введены на занятиях.
Примерный план:

• Кривые на вещественной проективной плоскости. Их комплексификация.
• Топология комплексных кривых.
• Максимальное число компонент вещественной кривой.
• Кривые над конечными полями. Их дзета-функции.
• Связь между дзета-функциями кривых над конечными полями и топологией комплексных кривых: гипотезы Вейля.
• Ко(гомологии) и набросок доказательства гипотез Вейля для кривых.
• Многообразия высших размерностей.