Аннотация:
В конце 1940-х годов Н. Стинродом была поставлена следующая задача, известная в настоящее время как проблема Стинрода о реализации циклов. Пусть X — топологическое пространство и z∈Hn(X,Z) — его целочисленный класс гомологий. Существуют ли ориентированное замкнутое гладкое многообразие Mn и непрерывное отображение f:Mn→X такие, что f∗[Mn]=z? Если ответ на этот вопрос положителен, говорят, что класс z реализуем по Стинроду. Классическая теорема Р. Тома утверждает, что при n⩾7 существуют нереализуемые классы гомологий, однако любой класс гомологий реализуем с некоторой кратностью, то есть становится реализуемым после умножения на некоторое натуральное число.
Естественным является вопрос о нахождении класса многообразий Mn, достаточного для реализации с некоторыми кратностями всех n-мерных многообразий, то есть такого, что любой класс гомологий любого топологического пространства реализуется с некоторой кратностью образом многообразия из класса Mn. В 2008 году Д. Котщиком и К. Лёх была предложена любопытная гипотеза, утверждающая, что в качестве такого класса Mn можно взять класс всех ориентированных замкнутых n-мерных многообразий постоянной отрицательной кривизны. Это утверждение тривиально в размерности 2 и было доказано Р. Бруксом в 1985 году в размерности 3. В докладе будет рассказано о доказательстве гипотезы Котщика-Лёх в размерности 4.
Это доказательство опирается на развитый докладчиком комбинаторный подход к проблеме Стинрода, основанный на прямом построении реализующего многообразия. Ключевую роль играет наличие в 4-мерном пространстве Лобачевского компактных многогранников с прямыми двугранными углами. Отсутствие таких многогранников в пространствах Лобачевского старших размерностей является препятствием к доказательству гипотезы Котщика–Лёх в этих размерностях.