Реализация 4-мерных классов гомологий многообразиями постоянной отрицательной кривизны

В конце 1940-х годов Н. Стинродом была поставлена следующая задача, известная в настоящее время как проблема Стинрода о реализации циклов. Пусть $X$ — топологическое пространство и $z\in H_n(X,\mathbb{Z})$ — его целочисленный класс гомологий. Существуют ли ориентированное замкнутое гладкое многообразие $M^n$ и непрерывное отображение $f\colon M^n\to X$ такие, что $f_*[M^n]=z$? Если ответ на этот вопрос положителен, говорят, что класс $z$ реализуем по Стинроду. Классическая теорема Р. Тома утверждает, что при $n\ge 7$ существуют нереализуемые классы гомологий, однако любой класс гомологий реализуем с некоторой кратностью, то есть становится реализуемым после умножения на некоторое натуральное число.
Естественным является вопрос о нахождении класса многообразий $\mathcal{M}_n$, достаточного для реализации с некоторыми кратностями всех $n$-мерных многообразий, то есть такого, что любой класс гомологий любого топологического пространства реализуется с некоторой кратностью образом многообразия из класса $\mathcal{M}_n$. В 2008 году Д. Котщиком и К. Лёх была предложена любопытная гипотеза, утверждающая, что в качестве такого класса $\mathcal{M}_n$ можно взять класс всех ориентированных замкнутых $n$-мерных многообразий постоянной отрицательной кривизны. Это утверждение тривиально в размерности $2$ и было доказано Р. Бруксом в 1985 году в размерности $3$. В докладе будет рассказано о доказательстве гипотезы Котщика-Лёх в размерности $4$.
Это доказательство опирается на развитый докладчиком комбинаторный подход к проблеме Стинрода, основанный на прямом построении реализующего многообразия. Ключевую роль играет наличие в $4$-мерном пространстве Лобачевского компактных многогранников с прямыми двугранными углами. Отсутствие таких многогранников в пространствах Лобачевского старших размерностей является препятствием к доказательству гипотезы Котщика–Лёх в этих размерностях.