Конгруэнтные числа и эллиптические кривые. Лекция 3

Задача о конгруэнтных числах, упоминавшаяся еще в арабских математических текстах X века, состоит в следующем: для каких рациональных чисел s найдется прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью $s$? Удивительным образом эта проблема оказывается связанной с самой современной математикой — ее решение может быть получено по модулю так называемой гипотезы Берча и Свиннертона-Дайра, входящей в список «Проблем тысячелетия» института Клэя и за решение которой предлагается миллион долларов. Я попытаюсь рассказать о том, откуда берется такая связь. По пути нам встретится множество объектов и теорем, имеющих огромную важность в современной арифметической геометрии и теории чисел. Мы обсудим эллиптические кривые и закон сложения на них, теорему Морделла–Вейля, поговорим о том, как полезно смотреть на решения уравнений по модулю простого числа $p$ и упомянем теорему Минковского–Хассе о квадратичных формах, по пути нам понадобятся такие классические утверждения как теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях и квадратичный закон взаимности. Наконец, если останется время, мы упомянем об $L$-функциях эллиптических кривых и модулярных формах, — то без чего невозможно представить современную теорию чисел.

Для понимания курса будет достаточно знаний о том, что такое абелева группа, поле $C$ и конечное поле из $p$ элементов $Z/pZ$. Кроме того, ближе к концу, понадобится умение обращаться с бесконечными суммами и произведениями.

В качестве материалов к курсу могут быть полезны вводная статья Keith Conrad'a про конгруэнтные числа, а так же более продвинутый обзор Guy Henniart. Для дальнейшего знакомства с предметом можно порекомендовать замечательную книгу Н. Коблица «Введение в эллиптические кривые и модулярные формы»», где подробно обсуждается задача о конгруэнтных числах. В качестве книг для более основательного знакомства с теорией эллиптических кривых можно посоветовать книгу Э.Кнэппа «Эллиптические кривые», а также, пожалуй, лучшую книгу по эллиптическим кривым, J.Silverman «The arithmetic of elliptic curves».