От $-2$-кривых к флопу Мукаи: автоэквивалентности производных категорий пучков

Я буду рассказывать про действия группы кос на производных категориях когерентных пучков на гладких алгебраических многообразиях. (На самом деле используемые техники работают также на более общих схемах, а также для любого дискретного действия группы, но я буду разбирать два классических примера, где группа – это косы, а многообразия – гладкие над $С$). В первом случае речь пойдет о кривых с индексом самопересечения $-2$ на гладкой поверхности $S$; каждая такая кривая задает автоэквивалентность категории $D(S)$, и эти функторы удовлетворяют соотношениям группы кос, если соответствующие кривые пересекаются в одной точке. Флоп Мукаи – бирациональное отображение $f\colon T^*P^2 \to T^*P^2$, обладающее любопытным свойством: минимальное разрешение $f$ (диаграмма $T^*P^2 \leftarrow X \to T^*P^2$, где оба отображения $X\to T^*P^2$ – раздутия $P^2$) не индуцирует эквивалентность категорий, но между тем эквивалентность, совместимая с $f$, существует. Эта «неправильность» обуславливает соотношение для образующих действия группы кос на $D(T^*Fl_n)$. Основная цель доклада – описать общую в обоих примерах структуру, которая возникает на производной категории.
Доклад основан на совместной работе с Т. Логвиненко.