Нестандартный анализ и идеалы

Я расскажу про один из подходов к построению нестандартного анализа: теорию внутренних множеств (IST = Internal Set Theory) Эдварда Нельсона. Это аксиоматический подход, добавляющий к обычной аксиоматике теории множеств новый предикат «стандартности», а также три дополнительные аксиомы (идеализации, стандартизации и переноса), регулирующих взаимоотношения этого предиката с «обычной» теорией множеств. При этом все теоремы «обычной» математики остаются верными, но у нас появляется дополнительный инструмент для их доказательства, а также расширяются выразительные возможности языка.
После этого я планирую рассказать несколько сюжетов нестандартного анализа, связанных с идеалами:
* 1. Идеалы в кольце $F$ конечных вещественных чисел.
* 2. Для каких идеалов $J$ кольца $F$ существует функция, выбирающая по одному элементу из каждого класса смежности $F/J$?
* 3. Описание простых идеалов в кольцах непрерывных/гладких/$\dots$ функций в терминах нестандартного анализа.