Инварианты сопряженности сохраняющих площади диффеоморфизмов поверхностей

Пусть $S$ — группа диффеоморфизмов двумерного круга $D$ в себя, тождественных на крае круга и сохраняющих форму площади. Функцию $I\colon S\to\mathbb{R}$ назовем инвариантом сопряженности на группе $S$, если $I(ghg^{-1})=I(h)$ для любых элементов $g,h\in S$. Примером инварианта сопряженности является инвариант Е. Калаби (1970), $\mathrm{Cal}(h):=\int_0^1\int_D(H_t(p,q)\,dp\,dq)dt$, $h\in S$. Здесь $g_t\in S$ — какой-либо путь в группе $S$, соединяющий элементы $g_0=\operatorname{id}$ и $g_1=h$, а функция $H_t=H_t(p,q)$ на круге $D$ определяется равенствами $\frac{dg_t(p,q)}{dt}=\Bigl(-\frac{\partial H_t(g_t(p,q))}{\partial q},\frac{\partial H_t(g_t(p,q))}{\partial p}\Bigr)$ и $H_t|_{\partial D}=0$. Такой путь (и семейство функций $H_t$) существует для любого $h\in S$ ввиду линейной связности пространства $S$. Инвариант Калаби является дифференцируемым гомоморфизмом, причем его дифференциал в любой точке $h\in S$ имеет вид $dI(h)(H)=\int_D H(p,q)\,dp\,dq$ (т.е. не зависит от точки). Здесь касательное пространство в $h$ к $S$ отождествлено с пространством всех гамильтоновых векторных полей $v=\Bigl(-\frac{\partial H}{\partial q},\frac{\partial H}{\partial p}\Bigr)$ на $D$, где $H$ — гладкая функция на $D$, равная нулю на $\partial D$. А.Баняга (1978) показал, что любой гомоморфизм $I\colon S\to\mathbb{R}$ представим в виде $I=A\circ\mathrm{Cal}$ для некоторого автоморфизма $A$ группы $(\mathbb{R},+)$.
Другие известные примеры инвариантов сопряженности на группе $S$ — это площадь множества $\mathrm{Fix}\,(h)$ неподвижных точек, норма Х. Хофера (1993) $\|h\|_\infty=\inf_{\{g_t\}}\int_0^1(\max_D|H_t|)dt$ и “спектральные инварианты” [Л. Полтерович, 2001]. Они не дифференцируемы, а являются лишь липшицевыми.
Мы доказываем, что любой дифференцируемый инвариант сопряженности $I$ на $S$, дифференциал которого имеет вид $dI(h)(H)=\int_DK(p,q)H(p,q)\,dp\,dq$, $h\in S$, для некоторой непрерывной функции $K=K_h\colon D\to\mathbb{R}$, непрерывно зависящей от $h$ в $C^1$-топологии на $S$, имеет вид $I=A\circ\mathrm{Cal}$ для некоторой функции $A\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Доказательство использует результат К. Бонатти и С. Кровизье (2004) о том, что $C^1$-общий сохраняющий объемы диффеоморфизм $h\in S$ имеет всюду плотную орбиту. Этот результат, видимо, связан с результатом Д. Серра (1984) об инвариантах первого порядка бездивергентных векторных полей на $\mathbb{R}^3$.
Мы также строим серию нетривиальных (т.е. не сводящихся к инварианту Калаби) примеров инвариантов сопряженности, определенных на подмножестве $S'\subset S$ интегрируемых гамильтоновых диффеоморфизмов двумерной поверхности. Построение использует классификацию А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко (1994) инвариантов топологической сопряженности таких диффеоморфизмов.