Вычисление группы Пикара для фактора Мамфорда действия тора на многообразии полных флагов

Пусть $G$ — редуктивная алгебраическая группа $(\mathop{\mathrm{char}} k =0)$, $T$ — максимальный тор в $G$, $B$ — содержащая его борелевская подгруппа. Рассмотрим действие $T$ на $G/B$ левыми сдвигами. Хорошо известно, что $G/B$ $G$-эквивариантно вкладывается в проективизацию $\mathbb P(V(\chi))$ неприводимого модуля $V(\chi)$, где $\chi$ – некоторый строго доминантный веc, как проективизация орбиты старшего вектора.
Обозначим через $L_{\chi}$ ограничение на $G/B$ $G$-линеризованного пучка $\mathcal O(1)$ на $\Bbb P(V(\chi))$. Рассмотрим подмножество $X^{ss}_{L_\chi}$ полустабильных точек флагового многообразия относительно пучка $L_{\chi}$.
В докладе будет приведено описание линейных оболочек носителей полустабильных $T$-орбит.
С помощью этой информации мы вычислим ранг группы Пикара
$$ \mathrm{Pic}(X^{ss}_{L_\chi}/\!\!/T) $$
проективного многообразия $X^{ss}_{L_\chi}/\!\!/T$ (в зависимости от доминантного веса $\chi$) в случае, когда группа $G$ не содержит простых компонент типа $\mathsf A_n$.