О времени достижения высокого уровня случайным блужданием в случайной среде

Пусть случайная среда — это последовательность $(p_i,q_i)$, $i=0,1,\dots$, независимых одинаково распределенных пар положительных случайных величин, причем $p_0+q_0=1$. При фиксированной случайной среде блуждающая частица совершает переход из состояния $i$ в состояние $i+1$ с вероятностью $p_i$ и в состояние $i-1$ с вероятностью $q_i$. Предполагается, что случайная величина $\ln(q_i/p_i)$ принадлежит (без центрирования) области притяжения некоторого устойчивого (и не являющегося односторонним) закона с индексом $\alpha$, $0<\alpha<2$. Пусть $T_n$ — время достижения уровня $n$ указанным блужданием. Доказан принцип инвариантности для логарифма случайного процесса $T_{[ns]}$, $0<s<1$, при $n\to \infty$. Этот результат получен на основе предельной теоремы для ветвящегося процесса в случайной среде с одним иммигрантом в каждом поколении.