Аннотация:
Чтобы определить группы гомологий пространства, необходимо указать, что мы считаем циклом и какие циклы мы считаем гомологичными. Сначала в работах Пуанкаре цикл в многообразии определялся как гладкое подмногообразие без края. Позже Пуанкаре пришел к понятию цикла как алгебраической суммы сингулярных симплексов, что привело к теории сингулярных гомологий. В середине 20-го века выяснилось, что определение цикла как гладкого многообразия приводит к другой важнейшей теории гомологий — теории бордизмов. Естественным образом возник вопрос о соотношении между двумя понятиями цикла. В частности, Стинродом в конце 1940-х годов была сформулирована следующая проблема.
Пусть z — целочисленный класс гомологий пространства X; может ли z быть реализован как образ фундаментального класса ориентированного гладкого многообразия Mn при непрерывном отображении f:Mn→X? В 1954 году Том привел пример нереализуемого 7-мерного класса, однако доказал, что для каждой размерности n существует натуральное число k(n) такое, что класс k(n)z всегда реализуем.
В докладе будет показано, как по данному сингулярному циклу явно построить многообразие Mn и отображение f:Mn→X, реализующие с некоторой кратностью класс гомологий этого цикла. В основе построения лежит теоретико-групповая конструкция, связанная с прямоугольными группами Кокстера.
Впервые конструкция явной реализации циклов была получена докладчиком в 2007 году, однако изложение на языке групп Кокстера является новым. Эта конструкция позволяет в каждой размерности n указать многообразие Mn0, обладающее следующим универсальным свойством:
Для любых X и z из Hn(X,Z) некоторый кратный z класс гомологий может быть реализован образом фундаментального класса конечнолистного накрытия над Mn0. В докладе будут описаны некоторые свойства класса многообразий Mn0, обладающих этим универсальным свойством. Будет найдено много примеров таких многообразий среди так называемых малых накрытий над простыми многогранниками. В размерности 4 будет доказана гипотеза Котщика–Лех о реализации циклов гиперболическими многообразиями.