Критерий гладкости в бесконечности арифметического фактора симметрической области типа IV

В 2010 г. докладчик доказал, что для некоторых арифметических групп $\Gamma$ автоморфизмов симметрических областей $D_n=\mathrm{O}'(n,2)/(\mathrm{O}(n) \times \mathrm{SO}(2))$ размерностей $n=4,5,6,7$ алгебра $A(D_n, \Gamma)$ автоморфных форм свободна. Не считая областей $D_1$ (верхняя полуплоскость) и $D_2$ (прямое произведение двух верхних полуплоскостей), исследованию алгебр автоморфных форм в которых посвящены многочисленные работы, ранее был известен только один пример такого рода. А именно, в 1962 г. Игуза доказал свободность алгебры $A(D_3, \Gamma)$ для некоторой арифметической группы $\Gamma$ (расширения индекса $2$ образа группы $\mathrm{Sp}(4,\mathbb Z)$ при накрывающем гомоморфизме $\mathrm{Sp}(4,\mathbb R) \to \mathrm{SO}'(3,2))$. Возникает естественный вопрос, насколько частными являются эти результаты. Много ли существует арифметических групп $\Gamma \subset \mathrm{O}'(n,2)$ с указанным свойством? В каких размерностях они существуют?
Из общих соображений ясно, что алгебра $A(D_n, \Gamma)$ может быть свободна, только если группа $\Gamma \subset \mathrm{O}'(n,2)$ порождается отражениями относительно векторов с положительными квадратами. Кроме того, легко показать, что если эта алгебра свободна, то компактификация Бейли–Бореля факторпространства $D_n/\Gamma$ неособа в любой нульмерной компоненте границы. (Граница этой компактификации состоит из конечного числа точек и кривых.) Строение компактификации Бейли–Бореля в окрестности нульмерной компоненты $q$ границы определяется стабилизатором $\Gamma_q$ этой компоненты. В реализации области $D_n$ в виде «области Зигеля», состоящей из векторов комплексифицированного пространства Минковского, мнимая часть которых принадлежит конусу будущего, группа $\Gamma_q$ действует как дискретная группа аффинных преобразований, линейные части которых образуют дискретную группу $d\Gamma_q$ движений $(n-1)$-мерного пространства Лобачевского, а параллельные переносы образуют решётку $L_q$ в пространстве Минковского. Для того чтобы точка $q$ была неособой, необходимо, чтобы группа $\Gamma_q$ порождалась отражениями, в каковом случае группа $d\Gamma_q$ также порождается отражениями. В 1981 г. О. В. Шварцман показал, что если группа $d\Gamma_q$ порождается отражениями в гранях симплекса, а решётка $L_q$ порождается векторами, ортогональными граням этого симплекса, то точка $q$ неособа. Он высказал предположение, что эти условия являются и необходимыми.
Недавно докладчику удалось получить неожиданно простое доказательство гипотезы Шварцмана, которое и будет рассказано в докладе. Из этого результата следует, в частности, что алгебра $A(D_n,\Gamma)$ может быть свободна только при $n \leqslant 10$.