Детерминант случайной матрицы, смешанный объем эллипсоидов и нули гауссовского случайного поля

(Совместная работа с З. Каблучко.)
Рассмотрим матрицу $M$ размера $d\times d$, столбцы которой являются независимыми центрированными гауссовскими векторами с ковариационными матрицами $\Sigma_1,\dots,\Sigma_d$. Обозначим $\mathcal{E}_i$ эллипсоид рассеивания $i$-го столбца: $\mathcal{E}_i=\{t\in\mathbb{R}^d\,:\, t^\top\Sigma_i^{-1} t\leqslant1\}$. Мы покажем, что
$$ \mathbb{E}\,|\det M|=c_{d}V(\mathcal{E}_1,\dots,\mathcal{E}_d), $$
где $V(\,\cdot\,,\dots,\,\cdot\,)$ обозначает смешанный объем. В качестве прямого следствия мы получим явное аналитическое выражение для смешанного объема $d$ произвольных эллипсоидов в $\mathbb{R}^d$.
В качестве другого приложения, мы рассмотрим гладкое центрированное невырожденное гауссовское поле $X=(X_1,\dots,X_k)$, $k\leqslant d$. Используя формулу Каца–Райса, мы получим геометрическую интерпретацию плотности нулей $X$ в терминах смешанного объема эллипсоидов рассеивания градиентов $X_i/\sqrt{\mathrm{Var}(X_i)}$. Данный результат можно рассматривать как вероятностный аналог хорошо известной теоремы Бернштейна о типичном числе решений системы алгебраических уравнений.
Все необходимые базовые сведения из геометрии будут приведены.