Свойства спектральных распределений случайных матриц высокого порядка

В докладе рассматриваются предельные теоремы для спектра произведений и степеней случайных матриц. Пусть
$$ W_m(n) = X^{(1)} X^{(2)}\cdots X^{(m)}\bigl(X^{(1)} X^{(2)}\cdots X^{(m)}\bigr)^*, $$
где матрица $X^{(k)}$ – прямоугольная случайная матрица размера $n_{k-1}\times n_k$ с независимыми элементами, и матрицы $X^{(k)}$ независимы между собой. Пусть последовательности $n_k(n)$ согласованно стремятся к бесконечности, то есть при $n \to \infty$ и при всех $k=1,2,\dots,m$ существует конечный ненулевой предел $y_k=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n_k(n)}$. Мы исследуем вопрос о распределении собственных чисел $\lambda_i$ матрицы $W_m(n)$ при $n \to \infty$. Мы докажем, что при достаточно слабых предположениях относительно матричных элементов математическое ожидание эмпирического спектрального распределения
$$ F_n(x) = E \frac{1}{n} \# \{i: \ \lambda_i < x, i \in \{1,\dots,n\} \} $$
имеет предел $G(x)$. Преобразование Стилтьеса $s(z)$ предельной функции распределения
$$ s(z) = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x-z}\,d G(x) $$
удовлетворяет уравнению
\begin{equation} 1+zs(z)-s(z)\prod_{k=1}^m (1-y_k-y_k z s(z))=0. \end{equation}
Заметим, что в случае $m=1$ полученное распределение является знаменитым распределнием Марченко–Пастура. Таким образом, полученный нами результат обобщает результат Марченко–Пастура о распределении собственных чисел выборочной ковариационной матрицы. В случае, когда $y_1=y_2=\dots=y_m=1$, полученное распределение называется распределением Фусса–Каталана, моментами которого являются числа Фусса–Каталана
$$ \int_{\mathbb{R}}x^p \,d G(x) = \frac{1}{mp+1} \binom{mp+p}{p}. $$
Кроме того, моменты распределения $G(x)$ в общем случае имеют многочисленные комбинаторные интерпретации, некоторые из которых будут обсуждаться в докладе.