Алгебры минимальной мультипликативной сложности

Пусть $\operatorname{rk}A$ обозначает билинейную сложность (также называемую рангом) умножения в конечномерной ассоциативной алгебре $A$. Широко исследуемыми алгебрами с точки зрения их структуры являются алгебры минимального ранга. Это такие алгебры $A$, для которых неравенство Алдера–Штрассена выполняется как равенство, т.е. $\operatorname{rk}A=2\dim A-t$, где $t$ — число максимальных двусторонних идеалов в $A$. Однако неравенство Алдера–Штрассена выполняется и для мультипликативной сложности, которое обобщает понятие билинейной сложности. Аналогично вводится понятие алгебры минимальной мультипликативной сложности. Из определения билинейной и мультипликативной сложностей следует, что любая алгебра минимального ранга является алгеброй минимальной мультипликативной сложности. Возникает вопрос: верно ли обратное? Этот вопрос в долгое время оставался открытым. В работе доказывается, что ответ на данный вопрос положительный, то есть алгебра $A$ имеет минимальный ранг тогда и только тогда, когда она имеет минимальную мультипликативную сложность.