Сходимость решений сингулярно возмущённой краевой задачи для оператора Лапласа

Возникавшие в физике сингулярно возмущённые уравнения и краевые задачи инициировали развитие различных асимптотических методов. При этом задача условно может быть разделена на две: построение собственно асимптотического разложения и обоснование построенной асимптотики.
В докладе предполгается рассмотреть задачу Дирихле для оператора Лапласа в $n$-мерной ограниченной области с тонким цилиндрическим отростком конечной длины. Малым параметром $\epsilon$ при этом служит диаметр сечения отростка. Легко видеть, что попытка свести задачу к задаче в фиксированной области при помощи замены переменных приводит к краевой задаче с сингулярно возмущённым оператором. Поэтому регулярная теория возмущения неприменима.
Мы не будем в этом докладе заниматься формальным построением асимптотик, а разберем утверждения, которые используются для строгого их обоснования. Будет доказана сходимость собственных значений возмущенной задачи к собственным значениям предельной задачи.