О порождающих элементах проконечных групп, произведений групп и сумм алгебр Ли

Пусть $F=(\,\underset{i\in I}\ast A_i)\ast G$ — свободное произведение нетривиальных групп $A_i$ ($i\in I$) и свободной группы $G$ с базой $\{g_j \mid j\in J\}$ (не исключается случай, когда множители $A_i$ или множитель $G$ отсутствуют), $N$ — нормальная подгруппа в $F$ такая, что $N\cap A_i=1$ ($i\in I$). В статье устанавливаются необходимые и достаточные условия для того, чтобы в группе $F/[N,N]$ данный элемент принадлежал подгруппе, порожденной $n$ данными элементами, и необходимые и достаточные для того, чтобы $n$ данных элементов группы $F/[N,N]$ порождали эту группу. Затем доказываются аналогичные результаты для проконечных групп и сумм алгебр Ли.