О четырёхугольных орбитах в плоских бильярдах

Гипотеза В. Я. Иврия (1980 г.) утверждает, что во всяком бильярде в евклидовом пространстве с кусочно-бесконечно-гладкой границей множество периодических орбит (или периодических начальных условий) имеет меру нуль. Эта гипотеза тесно связана с гипотезой Г. Вейля из спектральной теории оператора Лапласа. Частные случаи гипотезы Иврия были доказаны для треугольных орбит многими авторами, в первую очередь, М. Рыхликом (1989 г. в размерности два) и Я. Б. Воробцом (1991 г., в любой размерности). Частный случай для четырёхугольных орбит доказан в совместной работе Ю. Кудряшова и докладчика.
В докладе будет рассказано о комплексно-алгебраической версии гипотезы Иврия, для отражений относительно плоских проективных комплексных алгебраических кривых. В частности, оказывается, что в этом контексте, уже в случае четырёхугольных орбит гипотеза Иврия не верна. Однако в этом случае удается описать контрпримеры. Нетривиальные контрпримеры суть бильярды, образованные парами конфокальных коник.