Комплексная и лагранжева геометрия момент-угол-многообразий

Момент-угол-комплексы $Z_K$ представляют собой пространства с действием тора, параметризуемые конечными симплициальными комплексами $K$. Они являются одним из основных объектов исследования в торической топологии. Благодаря их комбинаторному происхождению, момент-угол-комплексы находят приложения в комбинаторной геометрии и коммутативной алгебре. Момент-угол-комплексы, соответствующие триангуляциям сфер, являются многообразиями с интересной и богатой геометрией.
Оказывается, что момент-угол-многообразия $Z_K$, соответствующие полным симплициальным веерам (т.е. для которых $K$ имеет звёздчатую реализацию) допускают некэлеровы комплексно-аналитические структуры. В качестве частных случаев получаются известные семейства многообразий Хопфа и Калаби–Экманна. Дано описание групп когомологий Дольбо комплексных структур на $Z_K$, и явно вычислен ряд чисел Ходжа в малых размерностях. Это вычисление основано на применении спектральной последовательности Бореля к голоморфным главным расслоениям $Z_K$ над торическими многообразиями.
В работе А. Миронова были построены новые семейства гамильтоново-минимальных (H-минимальных) лагранжевых подмногообразий в $C^m$ и $CP^m$ на основе невырожденных пересечений вещественных квадрик. Те же самые пересечения квадрик являются одной из реализаций момент-угол-многообразий $Z$, соответствующих выпуклым многогранникам. Лагранжевы подмногообразия $N$ в $C^m$, получаемые из пересечений квадрик, обладают следующими топологическими свойствами: каждое $N$ вкладывается как подмногообразие в соответствующее момент-угол-многообразие $Z$, и каждое $N$ является пространством двух расслоений, первое — над тором $T^{m-n}$ со слоем вещественное момент-угол-многообразие $R$, а второе — со слоем тор над факторпространством $R$ по конечной группе. Эти свойства использованы для построения новых примеров гамильтоново-минимальных лагранжевых подмногообразий со сложной топологией и их топологической классификации в случае малого числа квадрик.
Доклад основан на совместных работах с В. М. Бухштабером, А. Мироновым и Ю. Устиновским.