Квантовое число плоских голоморфных кривых

Нахождение числа кривых рода $g$ и степени $d$, проходящих через $3d-1+g$ общих точек на плоскости — одна из наиболее известных классических задач исчислительной геометрии. В тропическом пределе это число оказывается естественно проквантованным: голоморфные кривые распределяются по состояниям, параметризованным целыми числами от $-\delta$ до $\delta$ (где $\delta = (d-1)(d-2)/2 - g$). Так из 12 рациональных плоских кубик, проходящих через 8 общих точек, 10 находятся в основном $0$-состоянии и по одной в возбуждённых, $+1$- и $-1$-состояниях.
Недавно Блоком и Гётче была рассмотрена квантовая кратность для плоских тропических кривых. Мы покажем что эта кратность тропически инвариантна. Также оказывается что такая инвариантность тесно связана с инвариантностью чисел Вельшинжера, отвечающим подсчёту вещественных кривых. Совместная работа с И. В. Итенбергом.