Обобщённая проблема сокращения (по работе Anthony Crachiola)

Обобщённая проблема сокращения формулируется следующим образом: пусть $X$ и $Y$ — аффинные многообразия над полем $k$, верно ли, что если цилиндры $X \times k^n$ и $Y \times k^n$ изоморфны, то изоморфны и многообразия $X$ и $Y$? В случае $\mathrm{dim} X = \mathrm{dim} Y=1$ ответ на этот вопрос положительный. Первый контрпример для поверхностей над полем комплексных чисел $\mathbb С$ появился в 1989 году в работе В. Данилевского. Для поверхностей $X$ и $Y$, заданных уравнениями $xy=z^2+z$ и $x^2 y=z^2+z$ соответственно, было показано, что цилиндры $X \times \mathbb C$ и $Y \times \mathbb C$ изоморфны, тогда как сами $X$ и $Y$ — нет. Доказательство было геометрическим и существенно использовало комплексную топологию. В докладе будут описаны классы изоморфизма поверхностей вида $x^n y=z^2+h(x)z$ над полем произвольной характеристики и дано алгебраическое доказательство изоморфности цилиндров над ними.